του Πολ Λόκχαρτ1
Διαβάστε το 2ο μέρος εδώ: Ο Θρήνος του μαθηματικού (μέρος 2o)
Ας ξεκαθαρίσω τώρα ποια είναι η ένστασή μου. Δεν πρόκειται για τους μαθηματικούς τύπους, ή για την απομνημόνευση δεδομένων που έχουν τη σημασία τους. Αυτά είναι μέσα στο πλαίσιο και έχουν τη θέση τους, όπως το να μαθαίνεις λεξιλόγιο σε βοηθάει να δημιουργήσεις πλουσιότερα, λεπτομερέστερα έργα τέχνης. Αλλά δεν είναι το δεδομένο ότι τα τρίγωνα καταλαμβάνουν το μισό κουτί που έχει σημασία. Αυτό που έχει νόημα είναι η όμορφη ιδέα της γραμμής που χωρίζει το τρίγωνο, και πώς αυτό μπορεί να εμπνεύσει άλλες όμορφες ιδέες, και να ακολουθήσουν δημιουργικές ανακαλύψεις σε άλλα προβλήματα. Κάτι που μια απλή δήλωση του δεδομένου δεν μπορεί να σου δώσει ποτέ.
Αφαιρώντας τη δημιουργική διαδικασία και αφήνοντας μόνο τα αποτελέσματα αυτής της διαδικασίας, πρακτικά εγγυάσαι ότι κανείς δε θα ασχοληθεί πραγματικά με το αντικείμενο. Είναι σα να λες ότι ο Μικελάντζελο δημιούργησε ένα όμορφο γλυπτό, χωρίς να με αφήνεις να το δω. Πώς υποτίθεται οτι θα εμπνευστώ από αυτό; (Φυσικά είναι κάτι πολύ χειρότερο, τουλάχιστον είναι κατανοητό ότι υπάρχει ένα γλυπτό έργο τέχνης που με εμποδίζουν να εκτιμήσω).
Επικεντρώνοντας στο τι και αφήνοντας απ’ έξω το γιατί, τα μαθηματικά συρρικνώνονται σε ένα αδειανό πουκάμισο. Η τέχνη δεν βρίσκεται στην “αλήθεια” αλλά στην εξήγηση, το επιχείρημα. Είναι το ίδιο το επιχείρημα που δίνει στην αλήθεια το πλαίσιό της και καθορίζει τι πραγματικά λέγεται και εννοείται. Τα μαθηματικά είναι η τέχνη της εξήγησης. Αν αρνηθείς στους μαθητές την ευκαιρία να εμπλακούν σε αυτή τη διαδικασία, να θέσουν τα δικά τους προβλήματα, να κάνουν τις δικές τους εικασίες και ανακαλύψεις, να κάνουν λάθη, να απογοητευτούν με δημιουργικό τρόπο, να έχουν μια έμπνευση και να σκαρώνουν τις δικές τους εξηγήσεις και αποδείξεις, τότε τους αρνείσαι τα ίδια τα μαθηματικά. Επομένως όχι, δεν παραπονιέμαι για την παρουσία των δεδομένων και των μαθηματικών τύπων στις τάξεις μας, παραπονιέμαι για την έλλειψη των μαθηματικών στις τάξεις μας.
Αν ο δάσκαλος των καλλιτεχνικών σού έλεγε ότι η ζωγραφική είναι όλο κι όλο το να γεμίζεις με χρώμα αριθμημένες περιοχές, θα καταλάβαινες ότι κάτι δεν πάει καλά. Ο πολιτισμός σε ενημερώνει, υπάρχουν μουσεία και γκαλερί, καθώς και τέχνη μέσα στο ίδιο σου το σπίτι. Η ζωγραφική είναι εύκολα αντιληπτή από την κοινωνία ως ένα μέσο της ανθρώπινης έκφρασης. Παρομοίως, αν η καθηγήτρια της φυσικής προσπαθούσε να σε πείσει ότι η αστρονομία έχει να κάνει με την πρόβλεψη του μέλλοντος βασιζόμενη στην ημερομηνία γέννησης ενός ατόμου, θα καταλάβαινες ότι είναι τρελή. Η επιστήμη έχει διεισδύσει στον πολιτισμό σε τέτοιο βαθμό που σχεδόν ο καθένας γνωρίζει για τα άτομα και τους γαλαξίες και τους νόμους της φύσης. Αλλά αν η καθηγήτρια μαθηματικών σού δώσει την εντύπωση, είτε εμφατικά είτε από προεπιλογή, ότι τα μαθηματικά έχουν να κάνουν με τύπους, ορισμούς και απομνημόνευση αλγορίθμων, τότε ποιος θα σε βάλει στον ίσιο δρόμο;
Το πολιτισμικό πρόβλημα είναι ένα αυτό-διαιωνιζόμενο τέρας: οι μαθητές μαθαίνουν από τους δασκάλους τους και οι δάσκαλοι από τους δικούς τους δασκάλους, κι έτσι αυτή η έλλειψη κατανόησης και εκτίμησης των μαθηματικών στον πολιτισμό μας αυτό-αναπαράγεται επ’ άπειρον. Χειρότερα, η διαιώνιση των “ψευδό-μαθηματικών”, αυτή η έμφαση στον ακριβή πλην απερίσκεπτο χειρισμό των συμβόλων, δημιουργεί το δικό της πολιτισμό και το δικό της σύστημα αξιών. Αυτοί που έχουν γίνει επιδέξιοι στο χειρισμό αντλούν μεγάλη αυτοπεποίθηση από την επιτυχία τους. Το τελευταίο πράγμα που θέλουν να ακούσουν είναι ότι τα μαθηματικά στην πραγματικότητα έχουν να κάνουν με ακατέργαστη δημιουργικότητα και αισθητική ευαισθησία. Πολλοί απόφοιτοι νιώθουν θλίψη όταν ανακαλύπτουν, μετά από μια δεκαετία όπου τους έλεγαν ότι είναι “καλοί στα μαθηματικά”, πως στην πραγματικότητα δεν έχουν πραγματικό μαθηματικό ταλέντο και ότι απλά είναι πολύ καλοί στο να ακολουθούν οδηγίες. Τα μαθηματικά δεν έχουν να κάνουν με το να ακολουθούμε οδηγίες αλλά με το να δημιουργούμε νέες κατευθύνσεις.
Κι ακόμα δεν έχω αναφέρει την έλλειψη μαθηματικής κριτικής στο σχολείο. Οι μαθητές ποτέ δεν μπαίνουν στο κόλπο ότι τα μαθηματικά, ως κείμενα έμπνευσης, δημιουργούνται από ανθρώπινα όντα για τη δική τους τέρψη· ότι τα έργα των μαθηματικών είναι αντικείμενο κριτικής αξιολόγησης· ότι μπορούν οι ίδιοι να έχουν και να αναπτύξουν μαθηματικό γούστο. Ένα μαθηματικό έργο είναι σαν ένα ποίημα και μπορούμε να ρωτήσουμε αν ικανοποιεί τα αισθητικά μας κριτήρια: Είναι αυτό το επιχείρημα στέρεο; Βγάζει νόημα; Είναι απλό και κομψό; Με οδηγεί πιο κοντά στην καρδιά του ζητήματος; Φυσικά, δεν ασκείται καμία κριτική ως διαδικασία στο σχολείο, δεν υπάρχει τέχνη να κριτικάρει κανείς!
Γιατί δε θέλουμε να μαθαίνουν τα παιδιά μας να κάνουν μαθηματικά; Είναι το ότι δεν τα εμπιστευόμαστε, ότι νομίζουμε ότι θα τους φανούν πολύ δύσκολα; Δείχνει να νιώθουμε ότι είναι ικανά να σχηματίζουν επιχειρήματα και να φτάνουν στα δικά τους συμπεράσματα σχετικά με τον Ναπολέοντα, γιατί όχι και με τα τρίγωνα; Νομίζω απλά φταίει ότι εμείς ως πολιτισμός δεν γνωρίζουμε τι είναι τα μαθηματικά. Η εντύπωση που μας δίνεται είναι ότι πρόκειται για κάτι πολύ ψυχρό και ακραία τεχνικό, το οποίο κανένας δε θα μπορούσε να καταλάβει –μια αυτοεκπληρούμενη προφητεία, αν ποτέ υπήρχε τέτοια.
Θα ήταν αρκετά κακό αν ο πολιτισμός ήταν απλά αδιάφορος για τα μαθηματικά, αλλά αυτό που είναι ακόμα χειρότερο είναι ότι οι άνθρωποι θεωρούν ότι γνωρίζουν τι είναι τα μαθηματικά— και προφανώς πιστεύουν στη χονδροειδή παρανόηση ότι τα μαθηματικά είναι χρήσιμα στην κοινωνία! Αυτή είναι ήδη μια τεράστια διαφορά ανάμεσα στα μαθηματικά και τις άλλες τέχνες. Τα μαθηματικά αντιμετωπίζονται από τον πολιτισμό ως ενός είδους εργαλείο για την επιστήμη και την τεχνολογία. Ο καθένας γνωρίζει ότι η ποίηση και η μουσική είναι για καθαρή ευχαρίστηση και ότι ανυψώνει και εξευγενίζει το ανθρώπινο πνεύμα (γι αυτό και η πρακτική κατάργηση τους από το πρόγραμμα διδασκαλίας του σχολείου) αλλά όχι, τα μαθηματικά είναι σημαντικά.
Simplicio2: Στ’ αλήθεια προσπαθείς να ισχυριστείς ότι τα μαθηματικά δεν προσφέρουν καμία χρήσιμη ή πρακτική εφαρμογή στην κοινωνία;
Salviati: Φυσικά και όχι. Το μόνο που λέω είναι πως επειδή απλά κάτι τυχαίνει να έχει πρακτικές συνέπειες δεν σημαίνει ότι αυτές είναι που το καθορίζουν. Η μουσική μπορεί να οδηγήσει στρατούς στη μάχη, αλλά δεν είναι αυτός ο λόγος που οι άνθρωποι γράφουν συμφωνίες. Ο Μικελάντζελο διακόσμησε μια οροφή, αλλά είμαι σίγουρος ότι είχε κάτι παραπάνω στο μυαλό του.
Simplicio: Μα δε χρειάζεται οι άνθρωποι να μαθαίνουν αυτές τις χρήσιμες συνέπειες των μαθηματικών; Δε χρειαζόμαστε λογιστές και μαραγκούς και τέτοιους;
Salviati: Και πόσοι άνθρωποι χρησιμοποιούν στην πραγματικότητα κάτι από τα “πρακτικά μαθηματικά” που υποτίθεται ότι μαθαίνουν στο σχολείο; Πιστεύεις ότι οι μαραγκοί εκεί έξω χρησιμοποιούν τριγωνομετρία; Πόσοι ενήλικες θυμούνται πώς γίνεται η διαίρεση κλασμάτων ή πώς λύνεται μια εξίσωση δευτέρου βαθμού; Προφανώς, το τρέχον πρόγραμμα εκπαίδευσης δε δουλεύει, και δικαιολογημένα: είναι βασανιστικά βαρετό και κανείς δεν το χρησιμοποιεί ποτέ ούτως ή άλλως. Γιατί λοιπόν οι άνθρωποι πιστεύουν ότι είναι τόσο σημαντικό; Δε βλέπω πώς ωφελείται η κοινωνία με το να έχει τα μέλη της να περιφέρονται με θολές αναμνήσεις αλγεβρικών τύπων και γεωμετρικών διαγραμμάτων, και ταυτόχρονα πεντακάθαρες αναμνήσεις για το μίσος τους προς αυτά. Ίσως να ωφελούσε ωστόσο να τους δείχναμε κάτι όμορφο και να τους δίναμε μια ευκαιρία να απολαύσουν το να είναι δημιουργικοί, ευέλικτοι, με ανοιχτή νοοτροπία, όλα αυτά που μια πραγματική μαθηματική εκπαίδευση θα έπρεπε να παρέχει.
Simplicio: Αλλά οι άνθρωποι πρέπει να μπορούν να κρατάνε τους λογαριασμούς τους, έτσι δεν είναι;
Salviati: Είμαι σίγουρος ότι οι πιο πολλοί χρησιμοποιούν κομπιουτεράκι για την καθημερινή αριθμητική. Και γιατί όχι; Είναι σίγουρα πιο εύκολο και πιο αξιόπιστο. Αλλά το θέμα μου δεν είναι μόνο ότι το σημερινό σύστημα είναι τόσο τρομακτικά κακό, είναι ότι αυτό που λείπει είναι τόσο θαυμάσια καλό! Τα μαθηματικά θα έπρεπε να διδάσκονται σαν τέχνη για τ’ όνομα της τέχνης. Αυτές οι τετριμένες “χρήσιμες” πλευρές τους θα μπορούσαν να ακολουθήσουν με φυσικό τρόπο ως ένα απλό υποπροϊόν. Ο Μπετόβεν θα μπορούσε εύκολα να γράψει ένα διαφημιστικό εμβόλιμο τραγουδάκι, αλλά το κίνητρό του για να μάθει μουσική ήταν να δημιουργήσει κάτι όμορφο.
Simplicio: Αλλά δεν είναι όλοι φτιαγμένοι για να γίνουν καλλιτέχνες. Τι θα γίνει με τα παιδιά που δεν έχουν “μαθηματικό μυαλό”; Πώς ενσωματώνονται στο σχέδιό σου;
Salviati: Αν ο καθένας μας είχε πρόσβαση στα μαθηματικά στη φυσική τους μορφή, με όλη την ίντριγκα για διασκέδαση και εκπλήξεις που αυτά περιέχουν, πιστεύω θα βλέπαμε μια δραματική αλλαγή τόσο στη συμπεριφορά των μαθητών απέναντι στα μαθηματικά, όσο και στην αντίληψή μας για το τι σημαίνει να είσαι “καλός στα μαθηματικά”. Χάνουμε τόσους δυνητικά χαρισματικούς μαθηματικούς, δημιουργικούς, έξυπνους ανθρώπους οι οποίοι δικαίως απορρίπτουν αυτό που δείχνει να είναι εξ αντικειμένου αδιέξοδο και άγονο. Είναι απλά πολύ έξυπνοι για να σπαταλούν το χρόνο τους σε μια τέτοια ανοησία.
Simplicio: Αλλά δεν πιστεύεις ότι αν το μάθημα των μαθηματικών έμοιαζε περισσότερο με το μάθημα των καλλιτεχνικών πολλά παιδιά δε θα μάθαιναν τίποτα;
Salviati: Τώρα δε μαθαίνουν τίποτα! Καλύτερα να μην κάνεις καθόλου μαθηματικά παρά να κάνεις αυτό που γίνεται τώρα. Τουλάχιστον κάποιοι άνθρωποι ίσως να έχουν την ευκαιρία να ανακαλύψουν κάτι όμορφο από μόνοι τους.
Simplicio: Δηλαδή θα αφαιρούσες τα μαθηματικά από το πρόγραμμα διδασκαλίας του σχολείου;
Salviati: Τα μαθηματικά έχουν ήδη αφαιρεθεί! Η μόνη ερώτηση είναι τι να κάνουμε με το ανούσιο κουφάρι που έχει απομείνει. Φυσικά θα προτιμούσα να το αντικαταστήσουμε με μια ενεργητική και χαρούμενη ασχολία με μαθηματικές ιδέες.
Simplicio: Αλλά πόσοι καθηγητές μαθηματικών γνωρίζουν αρκετά το αντικείμενο τους ώστε να το διδάσκουν με αυτόν τον τρόπο;
Salviati: Πολύ λίγοι. Κι αυτό είναι απλά η κορυφή του παγόβουνου…
Μετάφραση* από τα αγγλικά: Νικολέττα Καρασμάνη
Επιμέλεια*: Κώστας Κατσαρός
Η μετάφραση-επιμέλεια, διανέμονται με την άδεια Creative Commons “Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές (CC BY-NC-SA 4.0)”.
*: Η μετάφραση στα ελληνικά και η επιμέλεια έγινε από μη μεταφραστές και μη επιμελητές. Παρακαλούμε για την ανοχή σας σε τυχόν λάθη. Οποιεσδήποτε παρατηρήσεις είναι, φυσικά, ευπρόσδεκτες.
- Ο Πολ Λόκχαρτ άρχισε να ενδιαφέρεται για τα μαθηματικά όταν ήταν 14 χρονών (έξω από τη σχολική αίθουσα όπως επισημαίνει). Εγκατέλειψε το κολέγιο έπειτα από ένα εξάμηνο για να αφοσιωθεί αποκλειστικά στα μαθηματικά. Βασιζόμενος στη δική του έρευνα, έγινε δεκτός στο Κολούμπια, όπου πήρε το διδακτορικό του, και έχει διδάξει σε σημαντικά πανεπιστήμια, όπως το Μπράουν και αυτό της Καλιφόρνιας (Σάντα Κρουζ). Από το 2000 έχει αφοσιωθεί στην “ανατρεπτική” διδασκαλία των σχολικών μαθηματικών στο Σεντ Ανς Σκουλ στο Μπρούκλιν της Νέας Υόρκης. [↩]
- ΣτΜ: Οι χαρακτήρες Simplicio και Salviati είναι εδώ δανεισμένοι από το έργο του Galileo Galilei “Διάλογος περί των δύο σημαντικότερων κοσμικών συστημάτων”, όπου γίνεται επιχειρηματολογία για τις δύο επικρατούσες κοσμοθεωρίες, τότε. Την (παλιά) γαιοκεντρική του Πτολεμαίου, και τη (νεώτερη) ηλιοκεντρική του Κοπέρνικου. (“Dialogue Concerning the Two Chief World Systems” – Wikipedia) [↩]
συνεχισ’τοοοοοοοοοοοοοοοο
πλιζπλιζπλιζ